Blogdope.com – Penjelasan Konsep Permutasi dan Kombinasi Lengkap dengan Rumus dan Contoh Soal. Konsep mengenai permutasi dan kombinasi masih berkaitan erat dengan pembahasan mengenai peluang.
Makna peluang dapat diartikan sebagai kesempatan. Dalam ilmu Matematika, peluang berarti kemungkinan yang mungkin terjadi atau muncul dari suatu kejadian atau peristiwa.
Peluang sering juga disebut dengan istilah probabilitas.
Penjelasan Konsep Permutasi dan Kombinasi
Baca Juga : Cara Menyajikan Data Lebih Mudah dan Efektif dengan Macam-macam Diagram
Pengukuran peluang seringkali dinyatakan dalam bentuk angka. Misalnya” kemungkinannya berkisar antara 10-15%”.
Selain itu, peluang dapat juga dinyatakan dalam bentuk kalimat. Misalnya “Itu tidak mungkin”, atau “Itu pasti terjadi”.
Angka yang dipakai untuk menyatakan sebuah peluang pasti antara 0 sampai dengan 1. Angka 0 menyatakan sebuah kejadian yang tidak mungkin terjadi. Sedangkan angka 1 menyatakan sebuah kejadian yang pasti terjadi.
Adapun notasi Matematika sebuah peluang sebagai berikut.
Dengan P(K) menyatakan peluang terjadinya kejadian K.
Baca Juga : Cara Mudah dan Cepat Menentukan Mean, Median, dan Modus pada Data Tunggal dan Data Kelompok
Beberapa istilah yang umum digunakan dalam topik bahasan tentang peluang diantaranya:
- Ruang sampel, adalah himpunan semua hasil percobaan yang mungkin terjadi.
- Titik sampel, merupakan anggota dari ruang sampel
- Kejadian, adalah himpunan bagian dari ruang sampel
Pengertian Permutasi dan Kombinasi
Lalu, bagaimana konsep permutasi dan kombinasi?
Permutasi dapat berarti aturan pencacahan atau penyusunan dengan memperhatikan urutan objek. Sedangkan kombinasi merupakan sebuah aturan pencacahan atau penyusunan tanpa memperhatikan urutan objek.
Dengan kata lain, kombinasi merupakan kebalikan dari permutasi.
Perhatikan ilustrasi permasalahan yang berkaitan dengan konsep permutasi dan kombinasi berikut ini.
Masalah 1
Sebuah perlombaan diikuti oleh 10 peserta. Lomba tersebut memperebutkan juara 1, 2, dan 3. Berapa banyaknya kemungkinan susunan pemenang?
Masalah 2
Sebuah kelas yang terdiri atas 12 siswa akan menerima tamu yang terdiri dari 3 orang delegasi. Berapa banyak susunan delegasi yang mungkin?
Dari kedua ilustrasi permasalahan yang disajikan di atas, kita dapat membedakan mana yang seharusnya menerapkan konsep permutasi atau kombinasi untuk menyelesaikannya.
Masalah 1 dapat kita selesaikan dengan konsep permutasi.
Mengapa? Karena permasalahan tersebut memperhatikan urutan, yaitu juara 1, juara 2, dan juara 3.
Sedangkan pada masalah 2 dapat diselesaikan dengan konsep kombinasi, karena penyelesaiannya tidak memperhatikan urutan.
Contoh Penerapan Konsep Permutasi dan Kombinasi
Secara tidak sadar, dalam kehidupan kita sehari-hari sebenarnya dapat kita jumpai penerapan permutasi dan kombinasi.
Misalnya pada saat kita menyusun telur dalam suatu wadah. Jika kita memiliki 10 butir telur dan 5 tempat atau wadah, berapa banyak susunan berbeda yang mungkin terjadi?
Contoh lain misalnya permasalahan mengenai susunan tempat duduk, dan sebagainya.
Penggunaan konsep permutasi dan kombinasi ini selanjutnya dapat membantu kita untuk menentukan peluang.
Suatu kejadian di masa yang akan datang dapat diprediksi atau diperkirakan dengan penerapan permutasi dan kombinasi.
Rumus Permutasi dan Kombinasi
1. Rumus Permutasi dan Contoh Soal
Permutasi dapat diperhitungkan dengan menggunakan rumus sebagai berikut.
P(n, r) = n!/(n-r)!
Keterangan:
- P(n, r) : permutasi r objek dari n objek yang ada
- n : banyaknya objek keseluruhan
- r : banyaknya objek yang diamati/diberi perlakuan
Baca : Ingin Mahir Geometri? Kuasai Dulu Konsep Garis dan Sudut!
Salah satu jenis permutasi yang wajib diketahui adalah permutasi siklik. Konsep tentang permutasi siklik dapat Anda simak pada ilustrasi masalah berikut.
Pada suatu restoran, terdapat 6 orang yang menempati tempat duduk secara melingkar. Berapa banyak susunan tempat duduk yang mungkin?
Agar dapat menentukan berapa banyak susunan tempat duduk berbeda keenam orang tersebut, dapat kita lakukan dengan menentukan salah satu tempat duduk sebagai patokan. Sehingga terdapat sisa 5 tempat duduk lain.
Dari 5 tempat duduk tersebut, jika kita mencoba menentukan banyaknya susunan yaitu:
1.Kursi 1 : banyaknya kemungkinan orang yang duduk pada kursi tersebut ada 5
2.Kursi 2 : banyaknya kemungkinan orang yang duduk pada kursi tersebut ada 4
3.Kursi 3 : banyaknya kemungkinan orang yang duduk pada kursi tersebut ada 3
4.Kursi 4 : banyaknya kemungkinan orang yang duduk pada kursi tersebut ada 2
5.Kursi 5 : banyaknya kemungkinan orang yang duduk pada kursi tersebut ada 1
Dengan menerapkan konsep aturan perkalian diperoleh banyaknya susunan duduk = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 cara.
Secara umum, rumus permutasi siklik untuk objek yang berjumlah n yaitu:
Psiklik(n) = (n – 1)!
Keterangan:
- Psiklik(n) : banyaknya permutasi siklik dari n objek
- n : banyaknya objek
Contoh Soal Permutasi
Perhatikan contoh soal permutasi ini agar Anda dapat memperoleh kejelasan penerapan konsep permutasi dalam permasalahan Matematika.
Soal 1
Sebuah perusahaan pengalengan ikan membutuhkan 4 orang karyawan berbeda. Keempat karyawan baru tersebut akan mengisi posisi yang lowong. Calon yang saat ini tersedia berjumlah 9 orang. Tentukan berapa banyak susunan karyawan yang mungkin dilakukan!
Pembahasan:
Untuk dapat menyelesaikan sebuah permasalahan permutasi, terlebih dahulu harus mengetahui rumus permutasi dengan prasyaratnya.
Kaitannya dengan soal di atas, karena terdapat 4 bagian maka kita dapat menggunakan persamaan permutasi anggota bagian.
Sehingga dalam memilih susunan karyawan yang diterima dapat menggunakan 3024 cara.
Soal 2
Dani ingin mengusun kata yang terdiri atas 8 huruf. Tentukan berapa banyak susunan 5 huruf yang bisa dibuat oleh Dani!
Pembahasan
Terlebih dahulu kita harus bisa menentukan jenis permasalahan yang diajukan. Apakah berupa anggota himpunan, siklik, atau pengulangan.
Soal di atas menanyakan kemungkinan susunan 5 huruf dari jumlah keseluruhan 8 huruf. Sehingga 5 adalah bagian dari 8.
Jadi, perhitungan permutasi untuk masalah di atas adalah
Kesimpulannya, untuk membuat 5 susunan huruf dari jumlah 8 huruf yang tersedia dapat dibuat sebanyak 6720 buah susunan.
Soal 3
Pada suatu ketika, terdapat 8 orang anak yang sedang bermain bersama-sama. Dalam permainan tersebut, tersedia 4 kursi kosong dan 1 buah kursi yang telah terisi. Tentukan berapa banyak susunan yang bisa dibuat dari anak yang belum duduk!
Pembahasan
Dari ilustrasi permasalahan permutasi di atas, terdapat 8 orang yang memperebutkan 4 kursi kosong. Tetapi, 1 orang telah menduduki kursi. Sehingga sisanya 7 orang anak yang memperebutkan 3 kursi kosong.
Untuk membuat susunan 7 orang anak itu, kita dapat menggunakan permutasi anggota himpunan. Karena 3 merupakan bagian dari 7.
Jadi, untuk membuat susunan 3 kursi kosong dengan sisa 7 orang anak dapat dilakukan dengan 210 cara.
2. Rumus Kombinasi dan Contoh Soal
Rumus kombinasi untuk objek r dengan objek berjumlah n dapat kita tuliskan dalam bentuk
C(n, r) = n!/(r! (n – r)!)
Keterangan:
- C(n, r) : permutasi r objek dari n objek yang ada
- n : banyaknya objek keseluruhan
- r : banyaknya objek yang diamati/diberi perlakuan
Contoh Soal Kombinasi
Soal 1
Sebuah terminal kecil berisi 4 buah bus. Dari keempat bus tersebut, akan dipilih 2 bus yang berangkat ke Semarang. Tentukan berapa banyak cara untuk memilih bus tersebut!
Pembahasan
Banyaknya cara untuk memilih bus yang berangkat ke Semarang ditentukan dengan perhitungan
4C2 = 4! / (2! (4-2)!) = (4×3×2×1) /((2×1)(2×1))
= (4×3) /(2×1)) = 12 / 2 = 6
Jadi, jumlah cara yang bisa dipakai untuk memilih bus yang berangkat ke Semarang adalah 6 cara.
Soal 2
Dinar pergi ke kamar untuk mengambil 3 jenis buku. Jika di kamar tersebut terdapat 6 jenis buku. Hitunglah berapa banyak kombinasi 3 jenis buku yang mungkin dibawa oleh Dinar!
Pembahasan:
Dari data pada soal 2, dimasukkan ke dalam persamaan kombinasi sebagai berikut
6C3 = 6!/(3!(6-3)!) = (6×5×4×3×2×1) / ((3×2×1)(3×2×1))
= (6×5×4) / (3×2×1) = 5×4 = 20
Jadi, kombinasi tiga jenis buku yang mungkin dibawa oleh Rudi adalah 20 kombinasi.
Soal 3
Sebuah organisasi memiliki kepengurusan yang terdiri atas 5 orang laki-laki dan 3 orang wanita. Dari jumlah tersebut akan dipilih 4 orang untuk menjadi wakil dalam upacara peringatan 17 Agustus. Hitunglah berapa banyak cara memilih jika komposisi perwakilan terdiri 2 orang laki-laki dan 2 orang wanita!
Pembahasan:
Cara memilih 2 laki-laki:
5C2 = 5!/(2!(5-2)!) = 5!/(2! 3!)
= (5×4×3×2×1) / ((2×1)(3×2×1)) = (5×4) / 2
5C2 = 10
Cara memilih 2 perempuan
3C2 = 3!/(2!(3-2)!) = 3!/ 2!
= (3×2×1) / (2×1)
3C2 = 3
Cara memilih 2 laki-laki dan 2 perempuan = 10 × 3 = 30
Jadi, banyaknya cara memilih perwakilan RT tersebut adalah 30 cara
Contoh Soal Kombinasi dan Pembahasannya
Soal 4
Dina ingin membeli 6 jenis boneka pada sebuah toko yang menjual 9 jenis boneka. Jika 2 jenis boneka sudah pasti dibeli, berapa banyak kombinasi 6 jenis boneka yang mungkin dibeli oleh Dina?
Pembahasan
Karena 2 jenis boneka sudah pasti dibeli, Tia tinggal memilih sisanya, yaitu 6-2 = 4 jenis boneka dari sisa jenis boneka yang belum dipilih, yaitu 9-2 =7, maka:
7C4 = 7!/(4!(7-4)!) = 7!/ (4!3!)
= (7×6×5×4×3×2×1) / ((4×3×2×1)(3×2×1) = (7×6×5) / (3×2×1)
= 7×5 = 35
Jadi, kombinasi 6 boneka yang mungkin dibeli Tia ada 35.
Artikel Terkait:
- Cara Menyajikan Data Lebih Mudah dan Efektif dengan Macam-macam Diagram
- Apakah yang Dimaksud dengan Standar Deviasi? Bagaimana Rumus dan Contoh Soal yang Tepat?
- Apakah yang Dimaksud dengan Distribusi Normal? Bagaimana Rumus dan Contoh Soalnya yang Tepat?
Nah, demikianlah pembahasan mengenai konsep permutasi dan kombinasi yang dapat admin sajikan pada kesempatan kali ini.
Mengingat pentingnya permutasi dan kombinasi dalam kehidupan kita sehari-hari, ada baiknya kita benar-benar mempelajari kedua konsep tersebut.
Tentu masih banyak aspek yang bisa dibahas mengenai permutasi dan kombinasi, serta penerapannya dalam kehidupan. Jadi terus semangat belajar ya!
Admin berharap semoga pembahasan konsep permutasi dan kombinasi diatas dapat menambah luas wawasan dan pengetahuan Anda semuanya.
Pastikan Anda sudah subscribe email ke blogdope.com agar tidak ketinggalan update artikel dan informasi terbaru.
Terima kasih.